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圆圆的圈作文 圆圆的圈圈教案文案：
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圆圆的圈是个魔术师，
变啊变，变成了大大的泡泡。
圆圆的圈是个魔术师，
变啊变，变成了美美的花手环。
圆圆的圈是个魔术师，
变啊变，变成了海边的游泳圈。
圆圆的圈是个魔术师，
哎呀，一不留神，它把自己变没啦！
下雨了，此刻，无言。
望着雨，心中，
百感交集。
回忆，如潮水般，
涌来。
情绪，好似打翻了，
五味瓶。
撑伞，独步雨中。
一步步走，
一步步跨。
红尘，俗事，
与我无关；
金钱，地位，
与我无缘。
在雨中，我，
好想成为精灵，
这，便可以
欢呼、跳跃、打闹，
但，却不能。
所以，我，
在雨天里，
独步。
寂寞，孤独，
又有几人，
读得懂，
看得出？
雨天，是伤心，
是落泪，
是天在哭。
雨中，我，
在独步。
妈妈有一双红色的高跟鞋，
噔噔噔，
听，是妈妈回来啦！
妈妈有一双黑色的高跟鞋，
噔噔噔，
听，是妈妈来接我啦！
妈妈有好多高跟鞋，
噔噔噔，
不好，妈妈回来啦，我得赶紧走了！
记忆，
被尘埃覆盖。
无人擦拭，
快要被遗忘。
有一天，
一个电话，
打破了宁静。
原本安详的生活，
一下子变得
乱了套。
接电话的女孩，
两行泪水流下。
沉睡的记忆，
又一次苏醒……
当你长大成人，回首往事，遥看来路时，你是否觉得自己遗失了什么，又收获了什么？是否父母给你的爱太多，而你回报的只仅仅是那海潮中的一滴。是否在他们离你而去时，你才懂得要回报他们，但却悔恨自己明白得太晚，太晚……
我的妈妈有着中等的个子，均匀的身材。一头波浪似的长发直垂至腰，额前披着一缕发丝，两条细细的柳叶眉，一双大眼睛如同两颗黑宝石，一张嘴巴能说会道，凭借着“三寸不烂之舌”教导出一批又一批的莘莘学子。只是不知从何时起，那一头飘逸的青丝中也染上了点点白光，脸上也布满了岁月的痕迹……
小时候的我，总在怀疑妈妈对我的爱。每天，我做作业时，妈妈从来不像其他家长一样帮我检查作业。她总是鼓励我自己给自己检查，总是说她不能跟着我到考场去帮我检查卷子。她也不管我每天早上穿的衣服，只是淡淡的说一句：“自己找的好看的，丢的是你自己的人。”她总是不管这个不管那个，好像我的一切都与她没有丝毫的关系一样。所以，我认为妈妈从来都没有在乎过我。每当想起妈妈的无视，我总是暗自伤神，认为她一点也不爱我。但在那一天，令我彻底改变了对妈妈的看法。
那是去年的一个周五，我要去为明天的演出做最后一次彩排。可爸爸出差了，舅舅去开会了，姥姥姥爷也在家看妹妹，除了妈妈大家都有自己的事情要做。我本以为妈妈会腾出一下午的时间去陪我，没想到她却让我自己过去！要知道，排练的地方离我们学校可是要半个小时的车程呢！我一下子便懵住了，一怒嘴儿，没有说什么，心里赌气的说：好，自己去就自己去！
我出了校门，打上了车，坐着车到了排练的地方。一路上，红灯不断，也有很多地方在堵车。终于，出租车在我的催促下，像一支离弦的箭一样冲出了“车群”。此时，已经超过排练时间15分钟了！我急不可耐的给了钱，也不管横冲直撞的汽车，不管赫然跃进眼底的红灯，心里好像只有一根弦：要迟到了！这时，一个熟悉的声音突然响起：“孩子小心！”我一听，立刻转身扑向了这声音的主人：“妈妈！”没想到，妈妈竟然一直跟在我的后面，用另一种不明显但又丝毫不逊色于其他任何一种表达方式的爱来关心、爱护着我，这样无声的母爱，如花朵绽放一般无声无息，需要我去认真体会才能感受得到。
妈妈的腰身何时不再婀娜？原来是为了牵住我的手让她失去了美丽的腰身。有一根名为“母爱”的绳子生长在妈妈的心里，系在她的心上，无论我走多远，走多久都会被妈妈牵住我的手。因为成长的路上，始终是妈妈牵住了我的手，陪我走一程。
妈妈的呵护是爱，妈妈的唠叨是爱，妈妈的“漠不关心”也是一种爱。寂寞难耐时，陪伴我的是妈妈；受挫伤心时，安慰我的是妈妈；偶尔犯错时，教育我的还是妈妈。
你在何方，
为什么你
现在不理我了？
你的背影
在我脑子里
渐渐模糊。
你的品格，
你的脾气，
我还历历在目。
我
永远忘不了那天，
那天，
你哭了，好伤心
是因为
我的缘故吗？
青岛，一座区区百年历史的海滨城市，没有北京西安的历史悠久，没有上海香港的繁华奢靡，却在短短几年中迅速崛起，让全世界的人们熟知了这个清秀而又典雅的名字——青岛，青青的岛。
某日，我一时兴起翻开家中的相册，照片中的主角是小时候的妈妈，背景则是凹凹凸凸的青石板路，斑驳的平房，笑嘻嘻招揽生意的煎饼阿姨，拉着人聊天的油条公公，老实敦厚的豆浆伯伯，行人一手拿着报纸，一手拿着刚出锅的大饼或油条，神色匆匆的快步走着。我在依稀中，仿佛也来到了那个梦中的世界：没有雾霾，没有尾气，没有汽车的滴滴声，只有老式自行车悠闲的铃响和卖报童脆生生的吆喝。不算窄的马路上却显得有些拥挤，人潮人海中，人们真心相待，没有欺骗，没有虚假的笑容。身前初升的太阳在远处火车的汽笛声中抖开最艳丽的丝绸。没有汽车和雾霾的早晨，显得那么宁静，人们质朴的笑容成了现实中千金难买的非卖品……可惜，那些已然逝去的东西终不能挽回。
翻过这一页，同样的地方如今却是繁华的商业街。同样的人来人往，同样的喧嚣热闹，却少了同样的安和宁静。这张照片中的我站在曾经妈妈站的位置，摆着和妈妈一样的姿势，背景却是鳞次栉比的高楼大厦、现代化的广告商家、熙熙攘攘的人头攒动和远处一道道直上青天的灰柱子。我还记得妈妈在给我照完这张相时似是惋惜的一句叹息：“唉，好好的一座城市，被以发展的名义糟蹋成了这样，也不知是好还是坏啊！”
的确，00后的我，从未见过未被切割的支离破碎的朝阳。青岛发展的十分迅速，已经是国家一线城市之一。当青石板变成柏油大道；四车道变成了八车道；昏暗的路灯治好了眼疾；交警的身影出现在各大十字路口，可是我们又失去了什么呢？
我闭上眼睛，土地似乎在呐喊着，不甘屈服于冰冷沉重的混凝土；我仰望苍穹，太阳似乎在叹息着，无奈的伸手却拨不开挡在身前厚厚的棉被。
可笑的是，尽管我看着电视里主持人面带笑容的说着“今天空气指数再一次创下历史最高”却无能为力。
青岛这座城。
“啦啦啦，啦啦啦，我是卖报的小行家……哈哈”快瞧，厚厚的齐刘海儿，不长的头发扎成两个小辫子，在她的一蹦一跳下，也跟着上下舞动，犹如两只翩翩起舞的蝴蝶……可不是嘛，这就是我家那个“鬼马小精灵”。
她叫叶籽茜，是我那令人可气又可爱表妹。她的眼睛小小的，像两个黑色的小豆豆，鼻梁扁扁的，可那张能说会道的嘴可“甜了”。
有一年暑假，我们一家到她家去玩。一进门，她就扑过来，对妈妈说：“姑姑，你辛苦了，”说着，变魔术似的变出了一杯水，放在妈妈的手上，“喝杯水吧。”说完，又一步并两步的跑进房间，拿出一盒薯片，放在我手里，说：“姐姐，你辛苦了，坐下来吃点零食，休息一会儿吧。”我还没反应过来，她就左一个姑丈右一个姑丈的叫开了，一下就爬到我爸的脖子上，双手环住我爸的脖子，两只脚环在我爸的腰上，怎么也不肯下来，这明明就是一直灵活的小猴子嘛。哎，她那嘴甜，分明就是想转移我和我妈的注意力，好去“勾引”我爸嘛，真是有“心机”。
她虽然富有心机，却总归还是个小孩子，这孩子的天性，她还是有的。
前年暑假，她来我家。那年暑假天气不热，我把窗帘拉了起来，整个房间没了阳光的照射就凉了下来，再开个电风扇，一点都不热了，叶籽茜倒好，每一天一到中午十点就围着我妈嚷个不停，瞧瞧，又开始了，“姑姑，姑姑开空调吧，热死了。”这简直就是瞎说，那里热了，所以，我妈就打马虎眼：“等你姑丈回来了，你问你姑丈去。”她好容易才“熬”到了十一点，我爸回来了，他又围着我爸转：“姑丈，姑丈热死了，开空调吧。”还好我爸心善，开了空调，不然谁知道她会不会来找我吵呢。
这就是叶籽茜，一个嘴“甜”又调皮的鬼马小精灵。
明天就是老妈的生日了，我这个做女儿的要尽尽自己的一份孝心。
放学后，我连忙来到了花店。可仔细一想，花儿虽然好看，却不实用，买回去两三天就要枯萎了，妈妈肯定不会喜欢的。接着，我来到了一家饰品店。我仔细挑选着，力求能找到一份让妈妈最满意的礼物。不一会，我看上了一个做工精细的许愿瓶，玻璃瓶光滑细腻，而且只要25元。我正想付钱把它买下的时候，忽然想到这个许愿瓶对妈妈没有任何意义，买回去也只能当摆设。妈妈素来喜欢实用不贵的礼物，这个许愿瓶不适合它。
我在饰品店里流连时，看见了妈妈的短信：怎么这么晚还不回来，放学好久了吧！速速回来！我无奈的笑了，无意间看见了旁边的丝绸围巾。我一摸，质感很顺滑，也很暖和，若是妈妈在冬天能戴上这样的围巾一定很舒服吧。想到这儿，我毫不犹豫的买下了它。
回到家，妈妈一脸责备的看着我：“怎么这么晚回来，又出去玩了吧！”她一边替我放下书包，一边说：“饿了吧，我做了菜，你快吃吧！”我一瞧，桌上放满了丰盛的菜肴，让人垂涎三尺，我此时真饿了，正想坐下来享用一顿美餐，忽然想起今天是妈妈的生日。我从书包里拿出那条我很满意的围巾，递给妈妈，妈妈看了看，笑容凝结了：“我说过多少次了，不要买那种没用的东西，你若真心疼妈妈，就乖一点，帮妈妈分担一点家务！这样做只是浪费钱！”无缘无故好心却受了妈妈的一顿训斥，我心里自然是不好过。因为是妈妈的生日，我没有说什么，只是默默地收起了围巾：“您既然不喜欢，我就送给别人好了！”回到房间里，我委屈的哭了，自己好心去买了礼物，若换成了别人的妈妈，肯定会表扬自己的孩子，怎么到了我妈妈这儿，只能换来一顿训斥！爸爸下班后，我委屈的告诉了他，爸爸同意妈妈的观点，还对我说：“你明知妈妈不喜欢你浪费钱，还这样，妈妈不批评你才怪！”听了爸爸的话，我更委屈了，爸爸知道妈妈是太小气了，还反过来批评我！我一气之下，告诉爸爸我不吃晚饭了，爸爸似乎很气：“不吃就不吃！关我什么事！”过了一会，好像听见了爸爸妈妈争吵的声音，接下来，妈妈带着菜来到了我的房间，对我说：“对不起，女儿，你买礼物是好心，我不该这样说你！你爸爸脾气太倔！你别听他的，饿着了可不好，快吃吧！”顿时我的气愤烟消云散，妈妈是疼我的，只是因为她不希望我浪费不该用的钱！对不起，妈妈！
圆圆的圈作文 圆圆的圈圈教案文案：
圆
○是一个几何图形，里面蕴含了千百年来世界探索的奥秘；○表示着幸福美满，是吉祥平安大家都喜爱的符号。可殊不知，这○，有多少人生的哲理。
○的数学定义是从中心点到周边任何一点的距离都相等的图形，不论你是谁，它也不会多给你一点，它对每个人都一样，它对每件事的态度都一样。并不正因人的关联疏远还是亲密无间，并不正因这件事的低贱与高贵而区分，而另类对待。这也是一种值得我们学习的对待人生的态度，公平公正，两袖清风。那些献媚拍马屁的人，对社会也不会有什么贡献的，那些受贿行贿的人，也会正因道德的变形而扭曲了自己本身俱来的圆，从而被人遗弃、唾骂。
○为什么会表示幸福、美满？正因它没有终点，不会走到尽头，做人也是要这样。说话，不能说得太绝，要给自己留点下台的路；做事，不能做得太极端，要给自己留点余地，承诺也是一样，万万不可轻易许下诺言，然后再轻易地打破诺言，这样就是卑鄙无耻的行为，你活着就死了，活得没有好处，活得苟延残喘，遗臭万年。你想吉祥平安，你就要处处注意自己的言行举止，不好被激动冲昏了头脑。
我拿起水笔，在这篇文章的最后一个格子里慎重地画了一个句号，思绪万千。
圆圆的圈作文 圆圆的圈圈教案文案：
一、知识回顾
圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr2
圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=π（R2-r2）(R是大圆半径，r是小圆半径）
三、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内；
2、点在圆上点在圆上；
3、点在圆外点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点；
2、直线与圆相切有一个交点；
3、直线与圆相交有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）无交点；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5）无交点；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
顶点到圆心的角，叫圆心角。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④弧弧
七、圆周角定理
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角：扇形多对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积
2、圆柱：
（1）A圆柱侧面展开图
=
B圆柱的体积：
（2）A圆锥侧面展开图
=
B圆锥的体积：
圆圆的圈作文 圆圆的圈圈教案文案：
（一）圆的有关性质
［知识归纳］
1.圆的有关概念：
圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；
圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2.圆的对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性。
3.圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4.垂直于弦的直径
垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6.圆周角
定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
7.圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
※8.轨迹
轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。
（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；
（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；
（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
［例题分析］
例1.已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。
图1
①若AB＝，ON＝1，求MN的长；
②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。
解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝
∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2
∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1
②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°
∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝
∴
说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsinn°＝2htann°＝
例2.已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。
图2
分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。
解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F。
图2－1
∴
又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°
∴的度数为25°，∴的度数为50°。
解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED
图2－2
∵AE是直径，∴∠ADE＝90°
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°
∴的度数为50°。
解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD
图2－3
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°
∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°
∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。
例3.已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。
略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO
∵BO＝6，OD＝2
∴
在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8
∴
图3图3－1
（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4
∴AB
综上所述AB＝
小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例4.已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AE·EF＝EC·ED
图4
分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。
证明：连结AC
∵四边形DEAC内接于圆
∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA
∵直径AB⊥CD，∴
∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA
∴△FED∽△CEA
∴，∴AE·EF＝EC·ED
小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。
例5.已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
图5
（1）如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；
（2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；
（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
证明：（1）连结BM（如图5－1）
图5－1
∵AM是直径，∴∠ABM＝90°
∵CD⊥AB，∴BM∥CD
∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN
∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM
（2）连结BD，BE，AC（如图5－2）
图5－2
∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC
∵CD＝AB，∴
∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE
∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC
∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB
∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
（3）结论成立。如图5－3
图5－3
证明：仿（2）可证△ABE≌△ACE
∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE
又∵AB＝CD，∴
∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC
∴∠BDE＋∠ACE＝180°
而∠FBE＋∠ABE＝180°
∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角
∴△BED∽△FEB
∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
（二）直线与圆的关系
1.直线与圆的位置关系
直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系
2.切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线的性质
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；
（2）推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
（3）推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心。
4.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
5.弦切角定理
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
6.和圆有关的比例线段
（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；
（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；
（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
7.三角形的内切圆
（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；
（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。
［例题分析］
例6.已知：如图6，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CG切⊙O于D，
DE⊥AB于E。
图6
求证：∠CDB＝∠EDB。
分析：由AB是⊙O的直径，联想到直径的三个性质：
图6－1图6－2图6－3
（1）直径上的圆周角是直角。若连结AD，则得Rt△ABD；
（2）垂径定理。如图6－2，若延长DE交⊙O于F，则可得DE＝EF，；
（3）过直径外端的切线与直径垂直。如图6－3，若过B点作⊙O的切线BM，则AB⊥BM。
由CD是⊙O的切线，联想到切线的三个性质：
（1）过切点的半径垂直于切线。如图6－1，若连结OD，则OD⊥CD；
（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD，则∠CDB＝∠A；
（3）切割线定理。如图6，CD2＝CB·CA。
由DE⊥AB于E，联想到以下一些性质：
（1）Rt△DEB中两锐角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90°；
（2）垂径定理。如图6－2，只要延长DE交⊙O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；
（3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD，则可得到△ADB是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。
证明：连结AD，如图6，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°。
∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A
∵CD是⊙O的切线，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB
此例题还有许多证法，比如连结OD，如图6－1，利用切线的定义；又比如延长DE交⊙O于F，连结BF，如图6－2，利用垂径定理；还可以过点B作⊙O的切线交CD于点M，如图6－3，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。
小结：此例题证明∠CDB＝∠EDB，即证明BD是∠CDE的平分线，由此证明可以联想到AD也是∠GDE的平分线。
另外，通过对此例题的分析和证明可知，图6－4中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图6－4分解成三个基本图形。如图6－5，以利于进一步理解线段之间的比例关系。
图6－4
图6－5
例7.已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。
图7
证明：连结CB
∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B
∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB
∴AC：BC＝PA：PC
∴
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°
又∵CD⊥AB
∴
∴AB＝AD＋DB＝5
∵
∴
例8.已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。
图8
求证：（1）AC是⊙D的切线；
（2）AB＋EB＝AC
分析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F
（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。
证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足
∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF
∴点D到AC的距离等于圆D的半径
∴AC是⊙D的切线
（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，
∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF
∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD
∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC
∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC
小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类
例9.已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。
图9
求证：
分析：由已知可得PE2＝PA·PB，因此要证PF2＝PA·PB，只要证PE＝PF。即证∠PFE＝∠PEF。
证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，
∴∠CED＝90°
∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D
∵PE为⊙O切线，E为切点
∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG
∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF
∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB
证明二：如图9－1，连结AC、AE
图9－1
∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC
∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C
∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC
∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF
∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB
例10.（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD
图10图10－1
求证：①∠BAD＝∠CAG；
②AC·AD＝AE·AF
（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。
①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；
②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
证明：（1）①连结BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠AGC＝∠ADB＝90°
又∵ACDB是⊙O内接四边形
∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG
②连结CF
∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB
∴∠DAE＝∠FAC
又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC
∴，∴AC·AD＝AE·AF
（2）①见图10－1
②两个结论都成立，证明如下：
①连结BC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°
∴∠ACB＝∠AGC＝90°
∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC
∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）
②连结CF
∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，
∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE
∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴
∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）
说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。
例11.如图11，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。
图11
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。
分析：（1）若连结DO，可证得DE是⊙O的切线。
若连结DB，由直径AB和点D是AC的中点，可得AB＝BC，∠A＝∠C等。而且DE⊥BC于点E，又由双垂图形，可得，等。
（2）连结DO、OB。方法同上。
答：下列结论可供选择，如图11－1
图11－1
（1）①DE是⊙O的切线②AB＝BC③∠A＝∠C④DE2＝BE·CE
⑤CD2＝CE·CB⑥∠C＋∠CDE＝90°⑦
（2）①CE＝BE②DE＝BE③DE＝CE④DE∥AB⑤CB是⊙O的切线
⑥B⑦∠A＝∠CDE＝45°⑧∠C＝∠CDE＝45°
⑨CB2＝CD·CA⑩(11)
(12)
说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。
（三）圆和圆的位置关系
［知识归纳］
1.基本概念
（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。
（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。
（3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。
2.圆和圆的位置关系
两圆的位置圆心距d与两圆的半径R、r的关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含000
3.相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。
［例题分析］
例12.已知两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm，求两圆半径的长。
解：设两圆的半径分别为Rcm和rcm。依题意，得
答：大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。
例13.已知：如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、F。
图12
求证：CE∥FD。
分析：要证CE∥FD，可通过角的关系证平行，即只要证∠E＝∠BFD或证∠ECD＋∠D＝180°，若证∠E＝∠BFD，只需将∠BFD转化成与⊙O1有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结AB即可；若要证∠ECD＋∠D＝180°，也需连结AB，得∠EBA＝∠D，∠EBA＋∠ECD＝180°，则也可得证。
证明一：（用同位角证）连结AB
∵四边形EBAC内接于⊙O1，∴∠BAD＝∠E
结语：在日复一日的学习、工作或生活中，许多人都写过《圆圆的圈》作文吧，借助作文人们可以反映客观事物、表达思想感情、传递知识信息。如何写一篇有思想、有文采的《圆圆的圈》作文呢？以下是小编整理的《圆圆的圈》，仅供参考，希望能够在写《圆圆的圈》上帮助到大家