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初等数论知识点汇总数学作文 初等数论基本知识文案：
第一节整数的p进位制及其应用
正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识
给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为，则此数可以简记为：（其中）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的次多项式，即，其中且，像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：
，其中且。而仍然为十进制数字，简记为。
第二节整数的性质及其应用（1）
基础知识
整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。
1．整除的概念及其性质
在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。
由整除的定义，容易推出以下性质：
(1)若且，则(传递性质)；
(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；
(3)若，则或者，或者，因此若且，则；
(4)互质，若，则；
(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；
(6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。注意：共有种可能的取值：0,1，……，。若，即为被整除的情形；
易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。
若是正整数，则；
若是正奇数，则；（在上式中用代）
(7)如果在等式中取去某一项外，其余各项均为的倍数，则这一项也是的倍数；
(8)n个连续整数中，有且只有一个是n的倍数；
(9)任何n个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；
2．奇数、偶数有如下性质：
(1)奇数奇数=偶数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝奇数，偶数偶数＝偶数，奇数偶数＝偶数，奇数奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成的形式，偶数的平方可以表示为或的形式；
（3）任何一个正整数，都可以写成的形式，其中为负整数，为奇数。
（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
3．完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的k次方幂。
4．整数的尾数及其性质
整数的个位数也称为整数的尾数，并记为。也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：
（1）；（2）＝；
（3）；（4）；；
（5）若，则；（6）；
（7）；
（8）
5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）
（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；
（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；
（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；
（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；
（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
6．质数与合数及其性质
1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。
2．有关质（素）数的一些性质
（1）若，则的除1以外的最小正因数是一个质（素）数。如果，则；
（2）若是质（素）数，为任一整数，则必有或（）＝1；
（3）设为个整数，为质（素）数，且，则必整除某个（）；
（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；
（5）任何大于1的整数能唯一地写成①的形式，其中为质（素）数（）。上式叫做整数的标准分解式；
（6）若的标准分解式为①，的正因数的个数记为，则。
第三节整数的性质及其应用（2）
基础知识
最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数（如）称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。
当（）＝1（即的公约数只有）时，我们称与互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。
同样，如果对于多个（不全为零）的整数，可类似地定义它们的最大公约数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。
由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变的符号，不改变（）的值，即；（）可以交换，（）＝（）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数，有（）＝（）等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：
（1）设是不全为0的整数，则存在整数，使得；
（2）（裴蜀定理）两个整数互素的充要条件是存在整数，使得；
事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有使等式成立，不妨设，则，故及，于是，即，从而。
（3）若，则，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；
（4）若，则；
（5）若，则，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；
（6）若，则，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若，对于有，进而有对有。
（7）设，若，则；
（8）设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的次方幂。
定义2.设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数［］。
最小公倍数主要有以下几条性质：
（1）与的任一公倍数都是的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；
（2）两个整数的最大公约数与最小公倍满足：（但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；
（3）若两两互素，则［］＝｜｜；
（4）若，且两两互素，则｜。
第四节同余
同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。
基础知识
三个数论函数
对于任何正整数均有定义的函数，称为数论函数。在初等数论中，所能用到的无非也就有三个，分别为：高斯(Gauss)取整函数[x]及其性质，除数函数d(n)和欧拉(Euler)函数和它的计算公式。
1．高斯(Gauss)取整函数[]
设是实数，不大于的最大整数称为的整数部分，记为[]；称为的小数部分，记为｛｝。例如：［0.5］＝0，等等。
由的定义可得如下性质：
性质1.；
性质2.；
性质3.设，则；
性质4.;;
性质5.；
性质6.对于任意的正整数，都有如下的埃米特恒等式成立：
；
为了描述性质7，我们给出如下记号：若，且，则称为恰好整除，记为。例如：我们有等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1的整数能唯一地写成的形式，其中为质（素）数（）。我们还可以得到：。
性质7.若，则
请注意，此式虽然被写成了无限的形式，但实际上对于固定的，必存在正整数，使得，因而，故，而且对于时，都有。因此，上式实际上是有限项的和。另外，此式也指出了乘数的标准分解式中，素因数的指数的计算方法。
2．除数函数d(n)
正整数的正因数的个数称为除数函数，记为d(n)。这里给出d(n)的计算公式：
初等数论知识点汇总数学作文 初等数论基本知识文案：
相信熟记以下基本知识点，你一定会旗开得胜！
1、一元二次方程求根公式：
2、a+b、a-b、ab、a2+b2（知二求二）
3、用点的坐标表示线段长：一定要加绝对值
若已知两点A、B的坐标：则AB=右-左、AB=上-下
见坐标、想代入；
见坐标、作垂直（向x轴、y轴作垂直）横平竖直
4、1）双曲线与直线y=±x的交点，到原点距离最近
2）直线y1和双曲线y2
①当y1y2时，cx0或xm
②
③
=
3)已知范围过原点，所求范围：或
已知范围不过原点，所求范围：两边夹
4)函数增减性：反比例函数、二次函数后面没括号，说增减性，一定错，有括号不一定对。二次函数增减性，看对称轴和a的性质：a0时，离对称轴越近，函数值越小，a0时，离对称轴越近，函数值越大（一定要画草图）
5、角平分线+平行→等腰
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3
∴AB=AD
6、线段的中垂线：
见线段的中垂线，作中垂线上的点到线段两端点的距离，则这两个距离相等
7、等腰三角形：
1）等腰三角形两种分类方法：
ⅰ、分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形
若求顶角，则两顶角互补；若求底角，则两底角互余
ⅱ、△ABC是等腰三角形：①AB=AC②BA=BC③CA=CB
工具：用圆规
2）黄金等腰三角形：
△ABC∽△BCD
8、直角三角形：
常用勾股数：
3、4、5；6、8、10；9、12、15
12、16、20；15、20、25；5、12、13
8、15、17；7、24、25注意勾股比的应用
9、相似：
1）等等等?
∵∠1+90°=∠2+90°
∴∠1=∠2
又∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEF
2）母子相似图（知二求四）
∠1=∠C、∠2=∠B
在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC
∴BA2=BD·BC、DA2=DB·DC、CA2=CD·CB、AB·AC=BC·AD
10、四边形：熟记所有定义、性质、判定
1）平行四边形为中心对称图形，
等腰三角形（等边三角形）为轴对称图形
等腰梯形为轴对称图形
矩形、菱形、正方形既轴对称也中心对称
任意多边形外角和均为360°
2）等腰梯形：上底=腰，加下列中的
任意一个，则可得到其他结论
BC=2AD，∠A=120°，∠ABC=60°
BD⊥CD，BD平分∠ABC
3）等腰梯形：对角线互相垂直
S梯形ABCD=S△DBE=
4）中点四边形：
原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形
原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形
原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形
任意四边形的中点四边形是平行四边形
5）菱形：加对角线，小直角大等腰，特别注意两邻角分别为60°、120°和30°、150°的情况
当∠BAD=60°时，AB=BD，BD：AC=1：
菱形面积S=AB·DE=
当∠BAD=30°时，则DE=
6）矩形：加对角线，小等腰大直角
7）直角梯形：常用辅助线：作高
11、解直角三角形：
1）已知30°的对边求邻边：×
已知30°的对边求斜边：×2
已知30°的邻边求对边：÷
已知30°的邻边求斜边：÷×2
已知斜边求30°的对边：÷2
已知斜边求30°的邻边：÷2×
2）已知直角边求斜边：×
已知斜边求直角边：÷
3）
4）已知腰求底：×
已知底求腰：÷
5）特殊角三角函数值：
sin30°=cos30°=tan30°=
sin45°=cos45°=tan45°=1
sin60°=cos60°=tan60°=
6）正弦：
余弦：=
正切：tan
7)已知一边、一个三角函数：设k法
8）注意转化角的应用
12、在直线l上找一点P使它到已知两点A、B距离之和最小（A、B在直线ｌ同侧）
方法：作出点A关于直线l的对称点C，
连接BC交直线l于P，则点P即为所求
此时，BC即为PA+PB的最小值
或在直线l上找一点P使它到已知两点
A、B距离之差最大（A、B在直线ｌ两侧）
方法同上，BC即为PB－PA的最大值
13、分类：
1）见等腰，想分类
2）见高，想分类
3）相似中的分类
以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似
4）四边形中的分类
以A、B、C、D为顶点的四边形
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一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零; 2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1; 5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π\/2; 6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法： 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法： 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论： 1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数 2、若f(x)为增(减)函数，则-f(x)为减(增)函数 3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则f[g(x)]是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论： 1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0(反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)=1\/2[f(x)+f(-x)]+1\/2[f(x)+f(-x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
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二、简答题
1．简要说明古希腊著名的几何三大问
答：(1)化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
（2）倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
（3）三等分角，即任意角为三等分。
2.《九章算术》中的“阳马”指什么
答：阳马（底面为长方形而有一棱与地面垂直的椎体）
3.17世纪哪些问题的研究导致了微积分的诞生
答：（1）开普勒与旋转体体积（2）卡瓦列里不可分量原理（3）笛卡尔“圆法”（4）费马求极大值与极小值的方法（5）巴罗“微分三角形“（6）沃利斯”无穷算术“
4.古埃及人很早就发明了象形文字记号。请用古埃及象形文字来表示阿拉伯-印度数码13571
5.简要说明欧几里得《几何原本》的主要内容
答：全书共分13卷，包括有5条公里（1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，和相等3、等量减等量，差相等4、彼此重合的图形是全等的5、整体大于部分）5条公设（1、嘉定从任意一点到任意一点可作一直线。2、一条有限直线可不断延长。3、以任意中心和直径可以画圆。4凡直角都彼此相等。5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，他们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交）119个定义和465条命题
6．按时代顺序，数学史的分期可分为哪些？。
答：I数学的起源与早起发展（公元前6世纪前）
II初等数学时期（公元前6世纪—16世纪）（1）古代希腊数学（公元前6世纪—6世纪）（2）中世纪东方数学（3世纪—15世纪）（3）欧洲文艺复兴时期（15世纪—16世纪）
III．近代数学时期（或称变量数学简历时期，17世纪—18世纪）
IV．现代数学时期（1820‘—现在）
（1）现代数学酝酿时期（1820‘—1870）
（2）现代数学形成时期（1870—1940）
（3）现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950—现在）
7.《九章算术》中的“羡除”指什么？
答：三个侧面均为梯形的楔形体、
8.概率论是什么样的背景下诞生的？
答：1654年,两位法国数学家帕斯卡和费马通过通信讨论解决了由赌徒分配赌金引起的\"点数问题\",才标志着概率论的诞生。
9.意大利数学家的三、四次方程解法的主要思想是什么？
答：换元与配方
10.在古代的数学成就中，有哪些成就可以看作是微积分思想方法的早期萌芽?
答：阿基米德的“穷竭法”、开普勒行星运动的“三大定律”
11．创建于20世纪的主要数学分支有：抽象代数、拓扑学、泛函分析
12．数学史上“老三高”指：高等微积分、高等代数和高等几何。
“新三高”指：抽象代数、拓扑学和泛函分析。
三、论述题
1．刘徽是中国历史上最重要的数学家之一，他的《九章算术》注对于中国传统体系的形成具有十分重要的意义。试阐述他的主要数学成就。
答：刘徽是公元3世纪魏晋时人，公元263年撰写了《九章算术注》他数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。
2.阐述解析几何发明的意义。
答：1、解析几何的变量是发明微积分的思想基础。2、解析几何是历史上首先发现了变量数学，它改变了数学的面貌，推动力整个数学的发展。3、坐标几何把数学造成一个双面的工具，几何概念可用代数来表示，几何的目标可通过代数达到，反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观的掌握哪些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论。4、坐标几何的显著优点在于它恰好提供了科学久已迫切需要的，而且在十七世纪一直公开要求着的数学设备，这设备就是数量的工具。5、解析几何发明的意义在于对整个科学和经济的发展提供了科学的工具
3.在古代的数学成就中，有哪些成就可以看作是微积分思想方法的早期萌芽?
答：阿基米德的“穷竭法”、开普勒行星运动的“三大定律”
4．《九章算术》的主要内容是什么？其具有世界意义的数学成就又有哪些？。
答：算数方面有（1）分数四则运算法则（2）比例算法（3）盈不足术。代数方面有（1）方程术（2）正负术（3）开方术。几何方面有（1）面积计算（2）体积计算（3）勾股定理的应用。
5.试谈历史上毕达哥拉斯定理及其逆定理的最早文字记载和证明。
答：在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
6.欧几里得《几何原本》对数学以及整个科学的发展有什么重要意义?
答：是数学史上的第一座理论丰碑。他最大的功绩是在于数学中演绎范式的确立。这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在他之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点是一些基本定理和认为是不证直明的基本原理、公设或公理，这就是所谓的公理化思想。
7.代数学的发展经历了哪几个不同的阶段？这些不同阶段中，代数学研究的中心问题各是什么？
答：初等代数、高等代数、抽象代数。初等代数研究的中心问题是：代数式的运算和方程式的求解。高等代数研究的中心问题是：最基本的集合、向量和向量空间；抽象代数研究的中心是：一元高次方程和多元一次方程组与多远高次方程组联立。
结语：在日复一日的学习、工作或生活中，大家都跟作文打过交道吧，写作文可以锻炼我们的独处习惯，让自己的心静下来，思考自己未来的方向。如何写一篇有思想、有文采的《初等数论知识点汇总数学》作文呢？以下是小编为大家整理的《初等数论知识点汇总数学》优秀作文，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家写《初等数论知识点汇总数学》有所帮助