下面是文案网小编分享的圆的知识点总结作文 九年级圆的知识点总结文案，以供大家学习参考。
圆的知识点总结作文 九年级圆的知识点总结文案：
（一）圆的有关性质
［知识归纳］
1.圆的有关概念：
圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；
圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2.圆的对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性。
3.圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4.垂直于弦的直径
垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6.圆周角
定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
7.圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
※8.轨迹
轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。
（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；
（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；
（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。
［例题分析］
例1.已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。
图1
①若AB＝，ON＝1，求MN的长；
②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。
解：①∵AB＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN＝
∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2
∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1
②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°
∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝
∴
说明：如图1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，则AB＝2Rsinn°＝2htann°＝
例2.已知：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数。
图2
分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。
解法一：（用垂径定理求）如图2－1，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F。
图2－1
∴
又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°
∴的度数为25°，∴的度数为50°。
解法二：（用圆周角求）如图2－2，延长AC交⊙C于点E，连结ED
图2－2
∵AE是直径，∴∠ADE＝90°
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°
∴的度数为50°。
解法三：（用圆心角求）如图2－3，连结CD
图2－3
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°
∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°
∴∠ACD＝50°，∴的度数为50°。
例3.已知：如图3，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OD等于2cm，求AB的长。
析：因为不知道∠A是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。
略解：（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形。如图3，由AB＝AC，可知点A是优弧的中点，因为OD⊥BC且AB＝AC，根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连结BO
∵BO＝6，OD＝2
∴
在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8
∴
图3图3－1
（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，如图3－1添加辅助线及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4
∴AB
综上所述AB＝
小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。
例4.已知：如图4，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CD延长线上一点，AF交⊙O于E。求证：AE·EF＝EC·ED
图4
分析：求证的等积式AE·EF＝EC·ED中，有两条线段EF、ED在△EDF中，另两条线段AE、EC没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线AC，设法证明△FED∽△CEA即可。
证明：连结AC
∵四边形DEAC内接于圆
∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA
∵直径AB⊥CD，∴
∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA
∴△FED∽△CEA
∴，∴AE·EF＝EC·ED
小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。
例5.已知：如图5，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交AM于点E。
图5
（1）如果CD⊥AB，求证：EN＝NM；
（2）如果弦CD交AB于点F，且CD＝AB，求证CE2＝EF·ED；
（3）如果弦CD绕点C旋转，并且与AB的延长线交于点F，且CD＝AB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
证明：（1）连结BM（如图5－1）
图5－1
∵AM是直径，∴∠ABM＝90°
∵CD⊥AB，∴BM∥CD
∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN
∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM
（2）连结BD，BE，AC（如图5－2）
图5－2
∵点E是BC垂直平分线AM上一点，∴BE＝EC
∵CD＝AB，∴
∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE
∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC
∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB
∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
（3）结论成立。如图5－3
图5－3
证明：仿（2）可证△ABE≌△ACE
∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE
又∵AB＝CD，∴
∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC
∴∠BDE＋∠ACE＝180°
而∠FBE＋∠ABE＝180°
∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角
∴△BED∽△FEB
∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED
（二）直线与圆的关系
1.直线与圆的位置关系
直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称无切线割线圆心到直线的距离d与半径r的关系
2.切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线的性质
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；
（2）推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
（3）推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心。
4.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
5.弦切角定理
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
6.和圆有关的比例线段
（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；
（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；
（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
7.三角形的内切圆
（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；
（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。
［例题分析］
例6.已知：如图6，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CG切⊙O于D，
DE⊥AB于E。
图6
求证：∠CDB＝∠EDB。
分析：由AB是⊙O的直径，联想到直径的三个性质：
图6－1图6－2图6－3
（1）直径上的圆周角是直角。若连结AD，则得Rt△ABD；
（2）垂径定理。如图6－2，若延长DE交⊙O于F，则可得DE＝EF，；
（3）过直径外端的切线与直径垂直。如图6－3，若过B点作⊙O的切线BM，则AB⊥BM。
由CD是⊙O的切线，联想到切线的三个性质：
（1）过切点的半径垂直于切线。如图6－1，若连结OD，则OD⊥CD；
（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD，则∠CDB＝∠A；
（3）切割线定理。如图6，CD2＝CB·CA。
由DE⊥AB于E，联想到以下一些性质：
（1）Rt△DEB中两锐角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90°；
（2）垂径定理。如图6－2，只要延长DE交⊙O于F，则可得到相等的线段，相等的弧；
（3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD，则可得到△ADB是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。
证明：连结AD，如图6，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°。
∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A
∵CD是⊙O的切线，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB
此例题还有许多证法，比如连结OD，如图6－1，利用切线的定义；又比如延长DE交⊙O于F，连结BF，如图6－2，利用垂径定理；还可以过点B作⊙O的切线交CD于点M，如图6－3，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。
小结：此例题证明∠CDB＝∠EDB，即证明BD是∠CDE的平分线，由此证明可以联想到AD也是∠GDE的平分线。
另外，通过对此例题的分析和证明可知，图6－4中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图6－4分解成三个基本图形。如图6－5，以利于进一步理解线段之间的比例关系。
图6－4
图6－5
例7.已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。
图7
证明：连结CB
∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B
∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB
∴AC：BC＝PA：PC
∴
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°
又∵CD⊥AB
∴
∴AB＝AD＋DB＝5
∵
∴
例8.已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。
图8
求证：（1）AC是⊙D的切线；
（2）AB＋EB＝AC
分析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F
（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△EBD≌△CFD。
证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足
∵AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，∴DB＝DF
∴点D到AC的距离等于圆D的半径
∴AC是⊙D的切线
（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，
∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF
∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD
∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC
∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC
小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类
例9.已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。
图9
求证：
分析：由已知可得PE2＝PA·PB，因此要证PF2＝PA·PB，只要证PE＝PF。即证∠PFE＝∠PEF。
证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，
∴∠CED＝90°
∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D
∵PE为⊙O切线，E为切点
∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG
∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF
∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB
证明二：如图9－1，连结AC、AE
图9－1
∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC
∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C
∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC
∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF
∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB
例10.（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD
图10图10－1
求证：①∠BAD＝∠CAG；
②AC·AD＝AE·AF
（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与⊙O相切时，其它条件不变。
①请你在图10－1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；
②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。
证明：（1）①连结BD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠AGC＝∠ADB＝90°
又∵ACDB是⊙O内接四边形
∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG
②连结CF
∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB
∴∠DAE＝∠FAC
又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC
∴，∴AC·AD＝AE·AF
（2）①见图10－1
②两个结论都成立，证明如下：
①连结BC，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°
∴∠ACB＝∠AGC＝90°
∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC
∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）
②连结CF
∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，
∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE
∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴
∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）
说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。
例11.如图11，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。
图11
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）。
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。
分析：（1）若连结DO，可证得DE是⊙O的切线。
若连结DB，由直径AB和点D是AC的中点，可得AB＝BC，∠A＝∠C等。而且DE⊥BC于点E，又由双垂图形，可得，等。
（2）连结DO、OB。方法同上。
答：下列结论可供选择，如图11－1
图11－1
（1）①DE是⊙O的切线②AB＝BC③∠A＝∠C④DE2＝BE·CE
⑤CD2＝CE·CB⑥∠C＋∠CDE＝90°⑦
（2）①CE＝BE②DE＝BE③DE＝CE④DE∥AB⑤CB是⊙O的切线
⑥B⑦∠A＝∠CDE＝45°⑧∠C＝∠CDE＝45°
⑨CB2＝CD·CA⑩(11)
(12)
说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。
（三）圆和圆的位置关系
［知识归纳］
1.基本概念
（1）两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。
（2）两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。
（3）两圆的连心线、圆心距、公共弦。
2.圆和圆的位置关系
两圆的位置圆心距d与两圆的半径R、r的关系外公切线条数内公切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含000
3.相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。
［例题分析］
例12.已知两圆外切时，圆心距为10cm，两圆内切时，圆心距为4cm，求两圆半径的长。
解：设两圆的半径分别为Rcm和rcm。依题意，得
答：大圆的半径为7cm，小圆的半径为3cm。
例13.已知：如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交两圆于E、F。
图12
求证：CE∥FD。
分析：要证CE∥FD，可通过角的关系证平行，即只要证∠E＝∠BFD或证∠ECD＋∠D＝180°，若证∠E＝∠BFD，只需将∠BFD转化成与⊙O1有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结AB即可；若要证∠ECD＋∠D＝180°，也需连结AB，得∠EBA＝∠D，∠EBA＋∠ECD＝180°，则也可得证。
证明一：（用同位角证）连结AB
∵四边形EBAC内接于⊙O1，∴∠BAD＝∠E
圆的知识点总结作文 九年级圆的知识点总结文案：
一、圆的相关概念
1、圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
二、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr点P在⊙O内；
d=r点P在⊙O上；
dr点P在⊙O外。
三、弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）
（3）半圆、同圆、同心圆、等圆
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆。
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆。
（4）弧、等弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫做等弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
七、确定圆的条件
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
八、圆周角定理及其推论
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
1.圆内接四边形对角互补；
2.圆内接四边形的外角等于它的内对角。
九、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
直线l与⊙O相交dr；
直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离dr；
十、切线的判定和性质
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
十一、切线长定理
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。
3、弦切角定理
弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。
即：∠BAC=∠ADC
十二、三角形的内切圆
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
十三、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
十四、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
十五、正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
十六、弧长及扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
2、扇形面积公式
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径。
十七、圆幂定理（拓展）
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图，PT为⊙O切线，PAB、PCD为⊙O割线，则
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图，AB、CD为⊙O的两条弦，相交于点E，则
圆的知识点总结作文 九年级圆的知识点总结文案：
初三圆的知识点总结
如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例：∵CD过圆心∵CD⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1)∵∠AOB=∠COD∴AB=CD(2)∵AB=CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1）∵∠ACB=∠AOB∴……………（2）∵AB是直径∴∠ACB=90°（3）∵∠ACB=90°∴AB是直径（4）∵CD=AD=BD∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ABCD是圆内接四边形∴∠CDE=∠ABC∠C+∠A=180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1）∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线（2）∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB（3）……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵PA、PB是切线∴PA=PB∵PO过圆心∴∠APO=∠BPO8．弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）几何表达式举例：（1）∵BD是切线，BC是弦∴∠CBD=∠CAB（2）∵ED，BC是切线∴∠CBA=∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（1）∵PA·PB=PC·PD∴………（2）∵AB是直径∵PC⊥AB∴PC2=PA·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1）∵PC是切线，PB是割线∴PC2=PA·PB（2）∵PB、PD是割线∴PA·PB=PC·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1）∵O1，O2是圆心∴O1O2垂直平分AB（2）∵⊙1、⊙2相切∴O1、A、O2三点一线12．正多边形的有关计算:（1）中心角n，半径RN，边心距rn，边长an，内角n，边数n；（2）有关计算在RtΔAOC中进行.公式举例：(1)n=；(2)
几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦
切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）
公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正
多边形的中心角.
二定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三公式：
1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.
（4）扇形面积S扇形=；（5）弓形面积S弓形=扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)
（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧=.（L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）
四常识：
1．圆是轴对称和中心对称图形.
2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3．三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.
4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线与圆相交d＜r；直线与圆相切d=r；直线与圆相离d＞r.
5．圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）
两圆外离d＞R+r；两圆外切d=R+r；两圆相交R-r＜d＜R+r；
两圆内切d=R-r；两圆内含d＜R-r.
6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.
7．关于圆的常见辅助线：
已知弦构造弦心距.已知弦构造RtΔ.已知直径构造直角.已知切线连半径，出垂直.圆外角转化为圆周角.圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形.两圆内切，构造外公切线与垂直.两圆内切，构造外公切线与平行.两圆外切，构造内公切线与垂直.两圆外切，构造内公切线与平行.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似,并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等，一对相似.圆的外切四边形对边和相等.若AD∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.RtΔABC的内切圆半径：r=.补全半圆.AB=.AB=.PC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.O是圆心，等弧出平行和相似.作AN⊥BC，可证出:.
圆的知识点总结作文 九年级圆的知识点总结文案：
第30课圆的有关性质
〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质
〖大纲要求〗
1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；
2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个
圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；
3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半
径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；
4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的
圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关
问题；
6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”
③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。
〖考查重点与常见题型〗
1．判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学
生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（）
(A)相等的圆心角所对的弧相等(B)平分弦的直径垂直于弦
(C)长度相等的两条弧是等弧(D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重
点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。
考点训练：
1．在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（）
(A)C在⊙A上(B)C在⊙A外(C)C在⊙A内(D)C在⊙A位置不能确定。
2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为()
(A)16cm或6cm,(B)3cm或8cm(C)3cm（D）8cm
3.如图，弦AC，BD相交于E，且AB，BC，CD的弧长相等，
∠AED＝30°，则∠AED的度数是（）
(A)150°(B)105°(C)120°（D）140°
4.在⊿ABC中，∠C=90°，O是BC上的一点，以OB为半径作
⊙O交于AB于D，交BC于E，∠A=30°BD=6，则⊙O的直径是()
(A)12(B)9(C)6（D)3
5．AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________
6．⊿ABC内接于⊙O，OD⊥BC，∠BOD＝36°，则∠A＝＿＿＿＿
7．圆内接⊿ABC中，AB＝AC，圆心到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰长AB＝＿＿＿
8．四边形ABCD内接于圆，AB，BC，CD，DA的弧长之比为5：8：3：2则∠ABC＝＿＿＿＿＿
9．如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，B是弧AC的中点，AD＝20，CD＝15,求BD的长。
解题指导。
1．如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O1于A，连结CB，BD是⊙O的直径，∠D＝40°求：∠AO1B、∠ACB和∠CAD的度数。
2．如图，AB是⊙O直径，ED⊥AB于D，交⊙O于G，EA交⊙O于C，CB交ED于F，求证：DG2＝DE?DF
3．如图，⊙O是⊿ABC外接圆，AD⊥BC于D，交⊙O于N，AE平分∠BAC交⊙O于E，求证：AE平分∠OAD
4．已知，如图O为圆心，∠AOB＝120°，弓形高ND＝2cm，矩形EFGH的两顶点E，F在弦AB上，H，G在弦AB上，且EF＝4HE，求HE的长。
独立训练：
1．三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）
（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形
2．边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（）
（A）（B）（C）2（D）
3，圆内接四边形ABCD中，四个角的度数比可顺次为（）
（A）4：3：2：1（B）4：3：1：2（C）4：2：3：1（D）4：1：3：2
4．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（）
(A)40°(B)140°或40°(C)20°（D）20°或160°
5．AB是⊙O的弦，C为⊙O上的一点，弧AC，CB的长比是1：2，弦BC＝12cm,则⊙O半径为＿＿＿＿＿＿cm
6．⊙O直径为8，弦AB＝4，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。
7．圆的半径为2cm，圆内一条弦长为2cm，则弦的中点与弦所对弧的中点间的距离为＿＿＿＿＿＿，这条的弦心距为＿＿＿＿＿＿＿
8．已知⊙O中，半径OD⊥直径AB，F是OD中点，弦BC过F点，
若⊙O半径为R则弦BC长＿＿＿＿＿
9．如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长。
10．如图，弦EF⊥直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MA?MC＝MB?MD
结语：《圆的知识点总结》怎么写呢?其实习作不仅仅是引导学生利用身边的素材学习写作知识的过程，同时更是是引导学生关注生活、关心自然的一种手段。今天小编给大家整理了《圆的知识点总结》供大家参考，我们一起来看看《圆的知识点总结》作文应该怎么写吧！